در این مقاله از تکنیک متغیر اضافی برای آنالیز کنترل بهینه سیستم صف F-policy G/M/1/K در حالتی که سرور به یک زمان start up قبل از اجازه دادن به مشتریان برای ورود به سیستم نیاز دارد. K که کمتر از بی نهایت است ماکزیمم ظرفیت سیستم را بیان می کند. تمرکز روش کنترل کردن ورودی ها بر کم کردن تعداد مشتریان در سیستم می باشد. مدل ارائه شده این مقاله به علت اینکه کنترل کردن مشتریان ورودی را در نظر گرفته است، برای موقعیت های واقعی بسیار مفید می باشد.
راه حل تحلیلی حالت پایدار سیستم صف M/M/1/K F-policy با زمان start up نهایی برای اولین بار توسط Gupta انجام شده است. اگرچه، راه حل های تحلیلی حالت پایدار سیستم های صف F-policy با توزیع نوع کلی زمان های بین ورود و یا توزیع زمان های سرویس بدست نیامده است. بدست آوردن عباراتی واضح برای توزیع احتمال تعداد مشتریان در سیستم در حالت پایدار بسیار مشکل است. البته بدست آوردن عباراتی واضح برای توزیع احتمال تعداد مشتریان در سیستم در حالت پایدار آسان می شود وقتی که از تکنیک متغیر اضافی در سیستم صف غیرمارکفی که دارای زمان های بین ورود با توزیع کلی و یا زمان های سرویس با توزیع کلی است، استفاده شود. CoX اولین فردی بود که تکنیک متغیر اضافی را معرفی نمود. بر اساس این تکنیک، Gupta و Rao یک روش بازگشتی به ترتیب برای توسعه دادن توزیع احتمالی در حالت پایدار تعداد ماشین های از کار افتاده در مسائل تعمیر ماشین بدون ماشین یدکی M/G/1 و همچنین مسائل تعمیر ماشین Cold-Stand by M/G/1 ارائه کرده اند.
کارهای انجام شده در گذشته در رابطه با صف را می توان به 2 گروه با توجه به اینکه سیستم تصور شده است که سرویس را کنترل کند یا ورودی ها را، تقسیم نمود. در گروه اول که سرویس را کنترل می کنند، سیستم صف N-policy M/M/1 بدون زمان start up اولین بار توسط Yadin و Naor ارائه شد. گسترش این مدل توسط Bell, Heymar, Kimura, Teghem, Wang و Ke انجام شده است.
Wang و Ke یک روش بازگشتی بوجود آورده اند و از تکنیک متغیر اضافی برای توسعه دادن توزیع احتمالی حالت پایدار تعداد مشتریان در سیستم صف N-policy M/G/1/L استفاده کرده اند. Ke و Wang یک روش بازگشتی ارائه کرده اند و تکنیک متغیر اضافی را به کار برده اند تا توزیع احتمالی حالت پایدار تعداد مشتریان برای سیستم صف N-policy G/M/1/L را بدست آورند.
Start up سرور مشابه با کار مقدماتی سرور قبل از شروع کردن سرویس است. در بعضی حالات واقعی، اغلب سرور نیاز به زمان start up قبل از شروع کردن به سرویس دارد. برخی پژوهشگران تحقیقاتی بر روی سیستم های صف با زمان start up مخصوصا N-policy M/G/1 انجام داده اند. Baker اولین کسی بود که بر روی سیستم صف N-policy M/M/1 با یک زمان start up نمایی مطالعه کرد. Borthakur مدل Baker را با زمان start up کلی گسترش داد. بر روی سیستم صف N-policy M/G/1 با زمان start up برخی محققان نظیر Medhi, Templeton, Takugi, Lee, Park, Hur, Paik و Krishna تحقیقاتی انجام داده اند. Ke یک روش بازگشتی ارائه کرده است که در آن از تکنیک متغیر اضافی برای محاسبه کردن خصوصیات عملیاتی سیستم صف N-policy G/M/1/L با زمان start up نمایی، استفاده شده است. در گروه دوم كه ورودي ها را كنترل مي كند، توسعه تحليلي براي كنترل كردن ورودي ها در مسائل صف بسيار كم در مقالات يافت مي شود. و از بين مقالات موجود زمان سرويس يا زمان بين ورودي بيشتر آنها توزيع كلي دارد. اكثر كارهاي انجام شده در گذشته بر روي سيستم ماركف تمركز داشته است. Gupta اولين كسي بود كه راه حل هاي تحليلي حالت پايدار سيستم صف M/M/1/K F-Policy با زمان start up نمايي را ارائه داد. ارتباط بين عمل كردن N-policy و F-policy نيز توسط Gupta ايجاد گرديد.
در عمل، خاصيت عدم حافظگي فرآيندهاي ورودي هميشه با نيازهاي كاربردها مواجه نمي شود چرا كه براي زمان بين دو ورودي توزيع كلي نسبت به توزيع نمايي مناسب تر و منطقي تر به نظر مي رسد. توزيع كلي مي تواند حالات خاصي مانند نمايي، ارلنگ، فوق نمايي، قطعي و ... را در بر بگيريد. اگرچه جدا از مباحث تئوريتيكي، بعضي از حالات واقعي فرض هاي شرايط ماركفي براي زمان سرويس را برآورده مي نمايد.
در بخش 2، مدل صف به صورت مختصر توصيف شده است. توجيه عملي مدل نيز در اين بخش آورده شده است. بخش 3 يك روش بازگشتي ارائه كرده است كه در آن از تكنيك متغير اضافي استفاده شده است. متغير اضافي به عنوان زمان باقي مانده بين دو ورودي معرفي شده است تا با كمك اين تكنيك توزيع احتمالي حالت پايدار تعداد مشتريان در سيستم صف G/M/1/K F-policy بدست آيد. همچنين براي الگوريتم حل سه مثال با توزيع زمان هاي بين ورودي مختلف: نمايي، ارلنگ نوع 3 و قطعي آورده شده است. در بخش 4، معیارهای کارایی مختلف سيستم ارائه شده است. تابع هزينه مورد انتظار كل در هر واحد زماني براي سيستم صف F-policy G/M/1/K با زمان هاي start up بررسي شده است. نتايج عددي و مقايسه اي در بخش 5 نشان داده شده است. در پايان، بخش 6 شامل تعدادي نكات مي باشد.